1 數(shù)學(xué)模型的建立

手動(dòng)螺旋千斤頂主要包括底座、棘輪、圓錐齒輪副、托杯、傳動(dòng)螺紋副等部分。千斤頂最大起重量是其最主要的性能指標(biāo)之一。千斤頂在工作過(guò)程中，傳動(dòng)螺紋副承受主要的工作載荷，螺紋副工作壽命決定千斤頂使用壽命，故傳動(dòng)螺紋副的設(shè)計(jì)最為關(guān)鍵，其設(shè)計(jì)與最大起重量、螺紋副材料、螺紋牙型以及螺紋頭數(shù)等都有關(guān)系。

1.1 目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量

手動(dòng)螺旋千斤頂在滿足設(shè)計(jì)性能和要求的前提下，從結(jié)構(gòu)緊湊、減輕重量、節(jié)省材料和降低成本考慮。在給出千斤頂最大起重量、傳動(dòng)螺紋副材料及其屈服應(yīng)力、螺紋頭數(shù)等基本設(shè)計(jì)要求和圓錐齒輪副等已定的情況下，可從螺紋副設(shè)計(jì)著手考慮，使螺紋副所用材料最少，即在滿足設(shè)計(jì)性能的情況下，傳動(dòng)螺桿、螺母所占體積最少。

螺桿的體積為：v1=πd22L/2

螺母的體積為：v2=π(D′2-D22)H/4

式中：d2——螺桿中徑，mm；

D′——螺母外徑（虛擬），mm；

D2——螺母中徑，mm；

L——螺桿總長(zhǎng)，mm；

H——螺母高度，mm.

考慮到傳動(dòng)效率要求較高和螺紋受力較大等因素，千斤頂一般采用鋸齒形螺紋傳動(dòng)，其大徑、中徑、小徑之間有如下關(guān)系：

d2=d－0.75P

d1=d－1.736P

且內(nèi)、外螺紋有如下關(guān)系：D＝d;D2=d2;

式中，D2、d2為內(nèi)、外螺紋中徑；P為螺距;D、d為內(nèi)、外螺紋大徑；d1為內(nèi)螺紋小徑。

則目標(biāo)函數(shù)（即傳動(dòng)螺紋副體積之和）為：

V=V1+V2=πL(d-0.75P)2-/4+π〔D′2--(d-0.75P)2-〕H/4

從目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式中可以看出，L、D′均為常量，而螺距P取值雖為整數(shù)，但其取值隨螺紋公稱直徑而變化，這里將其作為變量。故變量有d、H、P 三個(gè)，記作：

X=〔x1,x2，x3〕T=〔d,H，P〕T

目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為：

V(x)=πL(x1-0.75x3)3/4+π〔D′2-(x1-0.75x3)2〕x2/4

1.2 優(yōu)化約束條件

1.2.1 約束條件分析

(1)耐磨性條件

鋸齒形螺紋工作高度h：h=0.75P

根據(jù)手動(dòng)螺旋千斤頂傳動(dòng)螺紋副滑動(dòng)速度較低，及螺母和螺桿材料等條件，查取許用比壓〔p〕：

計(jì)算比壓為：p=FP/[(d-0.75P)πhH]＜〔p〕

(2) 螺紋的自鎖條件

螺旋升角ψ：ψ=arctanP/πd2=arctanP/[π(d-0.75P)]

當(dāng)量摩擦角ρv=arctanuv，uv為螺紋副當(dāng)量摩擦系數(shù)。

自鎖條件為：ψ＜ρv－(1°～1.5°),即

arctanP/[π(d-0.75P)]＜ρv－(1°～1.5°)

(3)螺桿的強(qiáng)度條件

螺紋危險(xiǎn)截面面積A為：A=π(d-1.736P)2/4

螺桿所受轉(zhuǎn)矩T：T=F·tan(ψ+ρv)(d－0.75P)/2

當(dāng)量應(yīng)力為：

式中，F(xiàn)為千斤頂最大起重量，單位為N.

查表,確定許用應(yīng)力〔σ〕.

當(dāng)量應(yīng)力應(yīng)小于許用應(yīng)力，即：σca＜〔σ〕

(4) 螺紋牙剪切強(qiáng)度條件

按機(jī)械性能較弱的螺母材料進(jìn)行計(jì)算：

螺母的外徑D等于螺桿外徑d：D=d

螺紋牙根厚b：b=0.75P

螺紋旋合圈數(shù)z：z=H/P

查表取得許用剪切應(yīng)力〔τ〕.

按剪切強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算：τ=F/(πDbz)=F/(πd·0.75P·H/P)，τ＜〔τ〕.

(5)螺紋牙彎曲強(qiáng)度條件

同樣，取機(jī)械性能較弱的螺母材料進(jìn)行計(jì)算。

按彎曲強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算：σb=3F(D-D2)/(πDb2z)=3F(d-d2)/(πDb2z)=3F〔d-(d-0.75P)〕/(πDb2z)

σb＜〔σb〕.

對(duì)靜載，許用應(yīng)力應(yīng)取較大值。

(6)螺桿的穩(wěn)定性條件

確定螺桿的柔度λ值：λ=μL/i

式中，μ為螺桿的長(zhǎng)度系數(shù)，L為螺桿的總長(zhǎng)度，i為螺桿危險(xiǎn)截面慣性半徑，i=d1/4.

螺桿的長(zhǎng)度系數(shù)根據(jù)螺紋副固定形式取值。

λ值小于許用值〔λ〕，即：λ＜〔λ〕.

(7)螺桿公稱直徑取值范圍

查《機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)》，取d值范圍為：20mm≤d≤650mm.

(8)螺母最大高度（螺紋嚙合長(zhǎng)度）范圍：30 mm≤H≤280 mm.

(9)螺紋螺距取值范圍

查《機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)》，得P值范圍為2 mm≤P≤24 mm.

1.2.2 約束條件

約束條件表達(dá)式如下：

g1(x)=F-〔0.75π(x1-0.75x3)x2〕〔p〕≤0

g2(x)=arctanx3/[π(x1-0.75x3)]-ρv+(1°～1.5°)≤0

g4(x)=F/(0.75πx1x2)-〔τ〕≤0

g5(x)=3F/(0.75πx1x2)-〔σb〕≤0

g6(x)=4μL/(x1-1.736x3)-〔λ〕≤0

g7(x)=30-x2≤0

g8(x)=x2-280≤0

g9(x)=20-x1≤0

g10(x)=x1-650≤0

g11(x)=2-x3≤0

g12(x)=x3-24≤0

2 優(yōu)化方法

本問(wèn)題有三個(gè)變量12個(gè)約束條件，采用MATLAB優(yōu)化工具對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例

某廠生產(chǎn)一種手動(dòng)螺旋千斤頂，最大設(shè)計(jì)起重量為40 kN，螺紋為鋸齒形，螺桿材料采用40Cr，熱處理HRC45～50，σs=785Mpa，螺母用ZCuAl10Fe3，螺紋副當(dāng)量摩擦系數(shù)為μv=0.13,千斤頂最大起重高度為130 mm,圓錐齒輪厚為30 mm,軸承固定端l0/d0=7/18。試設(shè)計(jì)傳動(dòng)螺紋副，使其結(jié)構(gòu)緊湊、所用材料最省。

根據(jù)前面的數(shù)學(xué)建模，我們先通過(guò)查表或計(jì)算，得到約束條件的各個(gè)相關(guān)參數(shù)，然后再將其代入上述建模的約束條件，從而得到螺紋副的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。

現(xiàn)將原設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果加以對(duì)照（表1），可以看出，優(yōu)化設(shè)計(jì)后螺紋副體積比原設(shè)計(jì)減少12.51%。采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，不僅節(jié)省材料，降低工廠生產(chǎn)成本，而且節(jié)省設(shè)計(jì)時(shí)間。這有助于改革傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，為新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)改進(jìn)提供了有力的依據(jù)。